Fórmula de varianza de cartera: explicación, relevancia y uso en inversiones

El término «varianza de cartera» hace referencia a un valor estadístico utilizado en la teoría moderna de inversiones para medir la dispersión de los rendimientos promedio de una cartera en relación a su media. En resumen, la varianza de cartera determina el riesgo total de la misma. Se obtiene mediante un promedio ponderado de la varianza individual y la covarianza mutua.

Definición de la varianza de cartera

Fórmula de la varianza de cartera

Matemáticamente, la fórmula de la varianza de una cartera compuesta por dos activos se representa de la siguiente forma:

Fórmula de la varianza de cartera = w1^2 * σ1^2 + w2^2 * σ2^2 + 2 * ρ1,2 * w1 * w2 * σ1 * σ2

• wi = peso de la cartera del activo i
• σi^2 = varianza individual del activo i
• ρi,j = correlación entre el activo i y el activo j

Nuevamente, la varianza puede extenderse a una cartera con más activos. Por ejemplo, una cartera compuesta por 3 activos se puede representar de la siguiente manera:

Fórmula de la varianza de cartera = w1^2 * σ1^2 + w2^2 * σ2^2 + w3^2 * σ3^2 + 2 * ρ1,2 * w1 * w2 * σ1 * σ2 + 2 * ρ2,3 * w2 * w3 * σ2 * σ3 + 2 * ρ3,1 * w3 * w1 * σ3 * σ1

Explicación de la fórmula de la varianza de cartera

La fórmula de la varianza de cartera se obtiene mediante los siguientes pasos:

Paso 1: En primer lugar, es necesario determinar el porcentaje de participación de cada activo en la cartera total. Esto se calcula dividiendo el valor del activo entre el valor total de la cartera. La participación del activo número i se denota como w_i.

Paso 2: A continuación, se debe calcular la desviación estándar de cada activo, basándose en sus rendimientos promedio y reales. La desviación estándar del activo número i se representa como σ_i. El cuadrado de la desviación estándar es la varianza, es decir, σ_i².

Paso 3: Posteriormente, se debe determinar la correlación entre los activos, que básicamente captura la relación de movimiento entre cada activo y otros. La correlación se representa como ρ.

Paso 4: Por último, la fórmula de varianza de una cartera de dos activos se deriva de la media ponderada de la varianza individual y la covarianza mutua, como se muestra a continuación.

Fórmula de varianza de la cartera = w₁ * σ₁² + w₂ * σ₂² + 2 * ρ_1,2 * w₁ * w₂ * σ₁ * σ₂

Tomemos un ejemplo de una cartera compuesta por dos acciones. El valor de la acción A es de $60,000 y tiene una desviación estándar del 15%, mientras que el valor de la acción B es de $90,000 y tiene una desviación estándar del 10%. La correlación entre las dos acciones es de 0.85. Determinemos la varianza.

• Desviación estándar de la acción A, σ_A = 15%
• Desviación estándar de la acción B, σ_B = 10%

A continuación se presentan los datos para calcular la varianza de la cartera compuesta por estas dos acciones.

Peso de la acción A, w_A = $60,000 / ($60,000 + $90,000) * 100%

Peso de la acción B, w_B = $90,000 / ($60,000 + $90,000) * 100%

En consecuencia, el cálculo de la varianza de la cartera sería el siguiente:

Varianza = w A^2 * σ A^2 + w B^2 * σ B^2 + 2 * ρ A, B * w A * w B * σ A * σ B

= 0.4^2 * (0.15)^2 + 0.6^2 * (0.10)^2 + 2 * 0.85 * 0.4 * 0.6 * 0.15 * 0.10

Importancia y aplicación

Una característica destacada de la varianza de la cartera es que su valor se deriva del promedio ponderado de las variaciones individuales de cada activo, ajustadas por sus covarianzas. Esto implica que la variación total es menor que el promedio ponderado simple de las variaciones individuales de cada acción en la cartera. Cabe mencionar que una cartera con valores de correlación más baja entre ellos resulta en una menor variación de la cartera.

Comprender la fórmula de la varianza de la cartera es también importante, ya que tiene aplicaciones en la teoría de la cartera moderna, que se basa en la premisa de que los inversores quieren maximizar sus rendimientos al tiempo que minimizan el riesgo, representado por la varianza. Los inversores suelen buscar lo que se conoce como una frontera eficiente, que es el nivel más bajo de riesgo o volatilidad en el que el inversor puede lograr su objetivo de rendimiento. Con frecuencia, los inversores invertirán en activos no correlacionados para reducir el riesgo según la teoría moderna de la cartera.

Existen casos en los que los activos que podrían ser riesgosos individualmente pueden eventualmente reducir la varianza de una cartera, ya que es probable que aumenten cuando caigan otras inversiones. Esta menor correlación puede ayudar a reducir la variación de una cartera hipotética. Por lo general, el nivel de riesgo de una cartera se mide mediante la desviación estándar, que se calcula como la raíz cuadrada de la varianza. Se espera que la varianza sea alta cuando los puntos de datos estén muy alejados de la media, lo que resulta en un mayor nivel general de riesgo en la cartera.